Российскому математику-отшельнику Григорию Перельману присудили Премию тысячелетия Математического института имени Клэя (Кембридж, США) за доказательство гипотезы Пуанкаре. В 2006 году он уже получил за него Медаль Филдса, но отказался от награды и стал знаменит широкой публике именно благодаря этому поступку. Теперь Перельмана настиг еще и миллион долларов, от которого он также намерен отказаться. Обозреватель "Недели" Пётр Образцов - о том, чем так ценно для науки доказательство нашего соотечественника.

Пластилиновая гипотеза

Великий французский математик Анри Пуанкаре в 1904 году сформулировал свою знаменитую гипотезу таким образом: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере.

Что это означает в переводе с математического на русский, попытаюсь объяснить чуть позже, а сейчас усложним задачу - на самом деле для ее упрощения. Итак, несколько позже выяснилось, что эта гипотеза является всего лишь частным случаем обобщенной гипотезы при n = 3, гласящей, что для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Не надо беспокоиться, я вовсе не собираюсь объяснять значение всех этих терминов. Для нас важно только то, что для n более 4 гипотеза уже была доказана к 1982 году. Но в виде обобщения (гипотезы Тёрстона) и собственно гипотезы Пуанкаре это удалось сделать в 2002 году питерскому математику Григорию Перельману.

Попробуем разобраться с первой формулировкой гипотезы. "Односвязное компактное трехмерное многообразие" - это любое тело без дырок. Например, простейший шар, или куб, или лист бумаги, на котором напечатана эта статья, или даже человеческое тело без сквозных отверстий. Тела многих наших предпринимателей после контрольного выстрела в голову явно не удовлетворяют этому условию, как и бублик, чашка с ручкой и дуршлаг.

Гомеоморфизм (от греческого "похожий с виду") - это возможность из одной фигуры получить другую, сжимая или вытягивая какие-либо ее части. В мультфильме про пластилиновую ворону аниматоры так и поступали - из вороны вполне можно вылепить дворника. Из шара - куб, из бумаги - шар. Но ни шар, ни ворону нельзя вылепить из чашки, так как отверстие никуда не исчезнет, а залепить его нельзя.

Так вот гипотеза Пуанкаре утверждает, что всегда найдется способ любое трехмерное тело без разрезания и склеивания превратить в шар. Над гипотезой математики бились более ста лет, причем иногда дело и впрямь доходило если не до драки, то до битвы за приоритет.

Как это было

Впервые свое доказательство Григорий Перельман еще в 2002 году выложил на сайте arXiv.org, который используется учеными самых разных направлений для быстрого обнародования своих результатов, - научные журналы часто публикуют статьи с опозданием. Так случилось, например, с Николой Теслой. Его патент на электродвигатель переменного тока был опубликован после выступления Феррариса о его двигателе, хотя заявлен патент был до. Приоритет Теслы оспаривается до сих пор.

Краткое содержание своей работы Перельман послал математикам Гамильтону, который в свое время придумал "дорожную карту" для доказательства гипотезы Пуанкаре, а также Яу и Тяну. Они принялись проверять доказательство, причем вскоре им пришлось изучить и два следующих препринта Перельмана. Китайский корифей Яу переложил работу по проверке на коллег, которые и опубликовали статью со своим вариантом доказательства, оценив вклад Перельмана в 25%.

Но ничего у них не вышло. Через четыре года Перельману была присуждена Медаль Филдса и был окончательно признан его приоритет. Журнал Science даже назвал это доказательство "прорывом года".

Питерский отшельник

Известный математик Владимир Губайловский отмечает, что при объявлении лауреата Институт Клэя нарушил собственные правила, согласно которым доказательство должно быть опубликовано не на сайте, а в крупном математическом журнале. Но дело тут вот в чем: объявив в 2000 году о семи "премиях тысячелетия", институт сильно "задрал планку". Эти задачи столь сложны, что быстрого их решения не предвидится, - доказательство Перельмана было признано только в 2006 году. А время идет, премия как-то потерялась. Поэтому-то ее и присудили Перельману - абсолютно заслуженно и впервые за эти 10 лет.

Экстравагантность математика широко известна: он живет вдвоем с мамой, ушел с работы в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени Стеклова, ходит в бакалею с авоськой, не жалует журналистов. На прошлой неделе взять у него интервью попытались журналисты из издания The Daily Mail. Перельман не стал приглашать представителей СМИ в свою квартиру, но из-за закрытой двери пояснил, что у него есть все, что нужно, а в миллионе долларов он не нуждается.

Хотя сама по себе огромная сумма не должна удивлять. Доктор физ.-мат. наук Андрей Лундин вообще полагает, что метод доказательства Перельмана гораздо важнее, чем модные инновации, и когда-нибудь практическое применение этого метода принесет не миллион, а миллиарды.

Учите математику

Владимир Губайловский считает, что важно не само доказательство, которое, можно сказать, было вполне предсказуемым, - никто из математиков и не сомневался, что гипотеза Пуанкаре верна. Но техника, которая была использована Перельманом, представляется чрезвычайно продуктивной и наверняка послужит основой для разработки новых отделов этой великой науки. А насчет пресловутого миллиона коллега Перельмана профессор Анатолий Вершик приводит и такое рассуждение американских ученых: премия Института Клэя в миллион заставит задуматься американских родителей, которые не обязательно будут теперь толкать своих чад в юристы, а поддержат их интерес к математике

Гриша, бери! И нам отдай

Земляки ученого умоляют Григория Перельмана не отказываться от "премии тысячелетия". Питерские коммунисты готовы потратить эти деньги на ремонт Мавзолея и строительство наукограда в Петергофе, чтобы вырастить там "десятки перельманов". А петербургский благотворительный фонд помощи детям "Теплый дом" просит математика перевести доллары на благотворительные цели.

Ученый-отшельник пока безмолвствует. А в народе рождаются анекдоты вроде этого: "Неизвестные в Питере похитили Перельмана. Обещают отпустить, если он согласится принять премию в миллион долларов. Наличными, мелкими купюрами..."

Пётр Образцов, "ИЗВЕСТИЯ"
фото: Тимур Аникеев "ИЗВЕСТИЯ"

Архив от 23.08.06

МАТЕМАТИКА ПЕРЕЛЬМАНА НЕ ТАК ПОНЯЛИ

Он отказался от медали, но не от миллиона долларов

Сергей ЛЕСКОВ

В Мадриде начал работу Международный конгресс математиков. Король Испании Хуан Карлос вручил присуждаемые раз в 4 года медали Филдса, которые приравниваются к Нобелевской премии для математиков. Награды получили 4 ученых, двое из них - из России, хотя Андрей Окуньков давно работает в Принстоне. Но внимание приковано к 40-летнему Григорию Перельману из Санкт-Петербурга. Во-первых, он решил сложнейшую математическую проблему - задачу Пуанкаре, над которой самые светлые умы бились больше 100 лет и за которую обещан $1 млн. И во-вторых, что еще удивительнее, питерский математик отказался явиться на вручение премии. Чем живет ученый и чем дышит - неизвестно.

Разъяснение утверждения Пуанкаре на примере

Каждый, кто когда-нибудь смотрел на ночной купол неба, наверное, задавался вопросом, конечна или бесконечна Вселенная в целом. Предположим, что мы полетели на корабле во вселенские дали. Можем ли мы дойти до "края" Вселенной, некоторой "стенки"? Тогда возникает вопрос - а что за ней? Там ведь тоже должно быть пространство. Иначе говоря, это маловероятно. Это свойство Вселенной математики называют "замкнутостью" или отсутствием края.

Далее возникает вопрос о глобальной форме Вселенной. Один из вариантов - бесконечное, бесконечного объёма неискривлённое трёхмерное пространство.

Но возможны и искривлённые Вселенные конечного объёма, например, трёхмерная сфера, упомянутая в гипотезе Пуанкаре. Понять, что это такое, лучше всего по аналогии с одномерной сферой - окружностью, и двумерной сферой - поверхностью трёхмерного шара. Трёхмерная сфера - это поверхность четырёхмерного шара.

Аналогично, возьмите трёхмерный шар и склейте, "схлопните" все точки граничной сферы в одну. Вы получите, в точности до деформации, трёхмерную сферу.

Представьте себя также на месте древних людей, которые, наверное, были уверены, что Земля - плоская, и либо выглядит, как блин с краями или является бесконечной плоскостью. Но потом выяснилось, что если идти всё время в одном направлении, вы возвращаетесь в исходную точку с обратной стороны - т.е. совершаете кругосветное путешествие.

Лев Борисович ВЕРТГЕЙМ, кандидат физико-математических наук, преподаватель кафедры геометрии и топологии Новосибирского госуниверситета, доктор философии (PhD) университета штата Мэриленд (США)

Пуанкаре Жюль Анри Пуанкаре (Henry Poincare) — знаменитый франц. математик, род. в 1854 г. в Нанси. Поступил в 1873 г. в политехническую школу, а в 1875 г. в горную школу, откуда вышел в 1879 г. горным инженером. С 1879 по 1881 гг. П. поручено было преподавание математического анализа в Faculte des Sciences de Caen, с 1881 по 1885 гг. он был maitre de conference d'analyse a la Faculte des Sciences в Париже. В 1883 г. был назначен репетитором высшего анализа в политехнической; в том же году ему поручено преподавание механики в Faculte des Sciences de Paris, в 1886 г. он назначен там же профессором математической физики и теории вероятностей, а в 1895 г. — небесной механики. В 1893 г. назначен членом "бюро долгот”; в 1887 г. П. избран членом французской академии. П. работает как по чистой математике, так и по всем отраслям механики и математической физики и самым новейшим открытиям физики посвящает свои исследования. В напечатанном в 1886 г. "Notice sur les travaux scientifiques de H. Poincare” приведен список 102 статей и заметок, напечатанных автором за время от 1879 до 1886 г.; в это время работы его были посвящены теории дифференциальных уравнений, общей теории функций, теории квадратических и кубических форм и небесной механике. К числу последних относятся следующие статьи, кроме помещенных в "Comples rendus”: "Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation” ("Acta mathematica”, т. VII, 1885), "Sur certaines solutions particulieres du probleme des trois corps” ("Bulletin astronomique”, т. 1, 1884); "Sur la stabilite de l'anneau de Saturne” ("Bulletin astronimique”, т. 11, 1885), "Sur une methode de M. Lindstedt” ("Bull. astron.”, т. III, 1886). После 1886 г., кроме многих работ по чистой математике и по небесной механике ("Sur le probleme des trois corps et les equations de la Dynamique”, в "Acta math.”, т. ХIII — увенчано премией; "Sur i'equilibre et le mouvement des mers”,в "Journ. de math. pures etappliques”, 1896; "Sur une forme nouvelle des equations du probleme des trois corps”, "Sur le developpement de la fonction perturbatrice”, "Sur l'integration du probleme des trois corps”, — все в "Bull. astron.”) были напечатаны следующие отдельные сочинения по разным отраслям физико-математических наук: "Les methodes nouvelles de la mecanique celeste”, "Theorie mathematique de la lumiere”, "Thermodynamique”, "Eletricite et optique”, "Capillarite”, "Elasticite”, "Theorie des tourbillons” и др.; кроме того напечатал немало статей об электрических колебаниях и явлениях Герца, лучах Рентгена и пр. Д. Бобылев.